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Mathlib.Algebra.Category.Grp.Preadditive

The category of additive commutative groups is preadditive. #

@[implicit_reducible]

instance AddCommGrpCat.instAddHom {M N : AddCommGrpCat} :

Add (M ⟶ N)

@[simp]

theorem AddCommGrpCat.hom_add {M N : AddCommGrpCat} (f g : M ⟶ N) :

Hom.hom (f + g) = Hom.hom f + Hom.hom g

theorem AddCommGrpCat.hom_add_apply {P Q : AddCommGrpCat} (f g : P ⟶ Q) (x : ↑P) :

(CategoryTheory.ConcreteCategory.hom (f + g)) x = (CategoryTheory.ConcreteCategory.hom f) x + (CategoryTheory.ConcreteCategory.hom g) x

@[implicit_reducible]

instance AddCommGrpCat.instZeroHom_1 {M N : AddCommGrpCat} :

Zero (M ⟶ N)

@[simp]

theorem AddCommGrpCat.hom_zero {M N : AddCommGrpCat} :

@[implicit_reducible]

instance AddCommGrpCat.instSMulNatHom {M N : AddCommGrpCat} :

SMul ℕ (M ⟶ N)

@[simp]

theorem AddCommGrpCat.hom_nsmul {M N : AddCommGrpCat} (n : ℕ) (f : M ⟶ N) :

Hom.hom (n • f) = n • Hom.hom f

@[implicit_reducible]

instance AddCommGrpCat.instNegHom {M N : AddCommGrpCat} :

Neg (M ⟶ N)

@[simp]

theorem AddCommGrpCat.hom_neg {M N : AddCommGrpCat} (f : M ⟶ N) :

Hom.hom (-f) = -Hom.hom f

@[implicit_reducible]

instance AddCommGrpCat.instSubHom {M N : AddCommGrpCat} :

Sub (M ⟶ N)

@[simp]

theorem AddCommGrpCat.hom_sub {M N : AddCommGrpCat} (f g : M ⟶ N) :

Hom.hom (f - g) = Hom.hom f - Hom.hom g

@[implicit_reducible]

instance AddCommGrpCat.instSMulIntHom {M N : AddCommGrpCat} :

SMul ℤ (M ⟶ N)

@[simp]

theorem AddCommGrpCat.hom_zsmul {M N : AddCommGrpCat} (n : ℤ) (f : M ⟶ N) :

Hom.hom (n • f) = n • Hom.hom f

@[implicit_reducible]

instance AddCommGrpCat.instAddCommGroupHom (P Q : AddCommGrpCat) :

AddCommGroup (P ⟶ Q)

@[implicit_reducible]

instance AddCommGrpCat.instPreadditive :

CategoryTheory.Preadditive AddCommGrpCat

def AddCommGrpCat.homAddEquiv {M N : AddCommGrpCat} :

(M ⟶ N) ≃+ (↑M →+ ↑N)

AddCommGrpCat.Hom.hom bundled as an additive equivalence.

Instances For

@[simp]

theorem AddCommGrpCat.homAddEquiv_apply {M N : AddCommGrpCat} (a✝ : M ⟶ N) :

homAddEquiv a✝ = CategoryTheory.ConcreteCategory.hom a✝

@[simp]

theorem AddCommGrpCat.homAddEquiv_symm_apply_hom {M N : AddCommGrpCat} (a✝ : CategoryTheory.ToHom M N) :

Hom.hom (homAddEquiv.symm a✝) = a✝